Aussterben von Familiennamen

deSilva

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Auf Anregung von Tekker habe ich folgende Fragestellung aufgegriffen:
"Wenn man jeder Familie ein "Wappen" zuteilt, wie viele würde man dann brauchen?"

Diese Fragestellung ist völlig äquivalent zu der nach patrilinear vererbten Familiennamen (oder Y Chromosomen :) )

Unter der (in Deutschland realistischen) Voraussetzung, dass sich die männlichen Nachkommen folgendermaßen verteilen:
25% keine Söhne
50% 1 Sohn
25% 2 Söhne
sterben natürlich Familiennamen aus (wenn es nur Töchter gibt). Schon in der 2. Generation haben nur noch 75% übrlebt, in der 4. Generation 45%, in der 50.Generation 7%. Die Überlebenskurve in der Anlage rechts. Nach mehreren Tausend Generationen "kämpfen" nur noch sehr wenige "Namen" um den ersten Platz.

Bei einer konstanten Bevölkerung werden diese Lücken durch die beiden Stammhalter anderer Familien gefüllt, so dass sich manche Familiennamen akkumulieren (sie können aber später dennoch aussterben - das ist wie beim Roulette).

Man kann hier Simulationen durchführen (z.B. mit "NetLogo"); die Berechnung der wahrscheinlichen Verteilungsfunktion ist etwas lästig.
Für die 2. Generation ergibt sich noch elementar:
50% der Bevölkerung trägt einen eindeutigen Namen
50% der Bevölkerung trägt Familiennamen, die "doppelt" vorkommen.

In der 4. Generation sieht das so aus (Anteil an der Bevölkerung, gerundet):
Einzelnamen: 22%
2 Vorkommen: 35%
3 Vorkommen: 23%
4 Vorkommen: 13%
5 Vorkommen: 5%
6 Vorkommen: 2%
7 Vorkommen: 0,3%
8 Vorkommen: 0,05%

Dass ein Name nach 4 Generationen achtfach vorkommt heißt, dass in jeder Generation 2 Söhne vorkommen müssen; dies ist wie man sieht sehr selten. Die (rekursive) Formel hierfür ist noch recht einfach :
p(gen) = 25% * p(gen-1)^2
p(gen) ist die Wahrscheinlich für maximale Ausbreitung zu 2^gen Nachkommen in der Generation gen; p(1) = 1.
anteil(gen) = p(gen) * 2^(gen-1)

Die Formeln für die anderen Werte sind bedeutend komplizierter.

Das linke Diagramm zeigt den erwarteten Bevölkerungsanteil mit entsprechend mehrfachen Namen für die 4. Generation.

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Nach einer anderen groben Abschätzung gibt es in Deutschland etwa 12 Mio Familienlinien, denen man ein neues "Wappen" zuteilen könnte (ohne Rücksicht auf bereits bestehende historische Familienbeziehungen). Diese Abschätzung beruht auf einem 3-Generationen Modell (Großvater in einem Einpersonenhaushalt, Hauptfamilie- und Sohn in je einenm Mehrpersonenhaushalt; sowie gleichwahrscheinlich: Großeltern und Hauptfamilie in einem Mehrpersonenhaushalt; Sohn in einem Einzelhaushalt). Die Werte wären dann mit den statistischen Daten konsistent.

Nach 4 Generationen (120 Jahre) wäre die Hälfte erloschen, nach 50 Generationen (1.500 Jahre) 93%.
 

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Ergebnisse eines Simulationslaufs in der Anlage.
ich habe 1024 Objekte mit einer eindeutigen Identifizierung 1 bis 1024 versehen. Die Werte an der Y-Achse kann man als "Promille" der Bevölkerung lesen.

In der 2. Generation (rechts unten) sieht man, wie manche davon ausgestorben sind, manche aber schon eine Verbreitung gefunden haben. (Da 1024 Werte auf 100 Pixel geschoben werden, sind die Striche und Lücken in bei dieser Auflösung nicht vergleichbar (Übergewicht der Schwärzung).
Auf Grund einer Autoskalierung auf der Y-Achse sieht man in den nächsten Generationen, dass zwischenzeitlich auch größere Häufigkeiten erreicht wurden. Nach 500 Generationen haben 5 Namen von 1024 überlebt; 4 davon werden in den nächsten 10.000 Generationen aussterben.
 

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