außerdem hörte ich auch, dass die Babylonier Rom, im Jahre 560 v.Chr. angegriffen haben
Nicht Rom. Rom war damals noch ein Bauerndorf auf dem italienischen Stiefel. Aber wahrscheinlich handelt es sich eh um einen Freudschen Verschreiber.
Es ist richtig, um 580 herum wurde die Elite des Königreichs Judah nach Bayblon verschleppt und durfte ca. 40 Jahre später, nachdem Babylon ins persisches Reich eingegliedert wurde (Kyros II.) zurückkehren.
Sehr oft habe ich gehört, dass Israel von den Römern im 1. Jahrhundert erobert wurde ...
Das war ein mehrphasiger Prozess. Nach den Persern kamen die Makedonier (Alexander der Große, Diadochen), danach die Makkabäeraufstände, schon hier war Juden in verschiedene Gebiete abgewandert oder vertrieben worden). Dann schließlich kamen die Hasmonäer und über Heirat die Herodianer, welche zunächst das alte Reich Davids (sofern dieses denn je existiert hat) wiederherstellten. Die Hasmonäer bzw. eigentlich Herdoinaer wurden dann Klientelkönige der Römer, sprich, sie waren de jure unabhängig, aber de facto war Rom ihre Schutzmacht (uns selbst das ist noch zu oberflächlich). Klassischer Fall von: Wenn zwei (Brüder) sich streiten, dann freut sich der dritte (in diesem Falle Rom).
und anschließend die Jüdische Diaspora begann.
Es gab schon vorher Juden, die nicht in Judaea oder Galilaea lebten. Und es gab verschiedentlich Aufstände gegen die Römer (teils noch unter der Herrschaft der Herodianer, teils, nachdem Rom sie schon abgesetzt oder beerbt hatte). Diese Aufstände waren vermutlich dadurch motiviert, dass die Römer Bilderver- und Reinheitsgebote der Juden missachteten. So der Aufstand 4 v. Chr., der große jüdische Aufstand von 66 - 74, der vom späteren Kaiser Vespasian und seinem Sohn und Nachfolger Titus niedergeschlagen wurde und schließlich der sogenannte Bar Kokhba/Kochba-Aufstand 132 -135.
Nach dem Großen Aufstand wurde Jerusalem zerstört (und einige Jahrzehnte später als Aelia Capitolina wieder aufgebaut) und die Juden aus Palaestina, wie die Römer die frühere Provinz Judaea nun nannten, vertrieben. De facto werden aber immer Juden in Palästina gelebt haben. Zumindest gibt es Synagogen die aus der Zeit nach der angeblichen Vertreibung stammen.
Zumindest im Ostteil des Mittelmeers gab es aber spätestens seit den Diadochen (also den Nachfolgern der nach dessen Tod unabhängig gewordenen Stattahlter und Generäle Alexanders des Großen) jüdische Siedeltätigkeit auch außerhalb Judaeas. Bekannt ist z.B. das Stadtviertel Delta in Alexandria (Ägypten) oder Paulus von Tarsus (Türkei), der vom Christenverfolger zum wohl wichtigsten Missionar des frühen Christentums wurde.